Question

已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，集合B={x|

x-2a

x-(a2+1)

＜0}．
（1）當a=2時，求A∩B；
（2）當a＞

1

3

時，若A∪B=A，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a=2分別代入集合A，B，先化簡集合A，B，即可求出A∩B．
（2）對a分類討論，再由A∪B=A，得B⊆A，進而得出a滿足的條件．

解答：解：（1）當a=2時，由（x-2）（x-7）＜0，解得2＜x＜7，∴A={x|2＜x＜7}．
由

x-4

x-5

＜0，解得4＜x＜5，∴B={x|4＜x＜5}．
∴A∩B={x|4＜x＜5}．
（2）當a=1時，B=∅，滿足A∪B=A，適合條件，∴a=1．
當a＞

1

3

時，且a≠1時，∵a²+1-2a=（a-1）²＞0，∴B={x|2a＜x＜a²+1}．
∵3a+1＞2，∴A={x|2＜x＜3a+1}．
∵A∪B=A，∴B⊆A，
∴a必須滿足

2a≥2 a2+1≤3a+1

且a≠1，解得1＜a≤3．
綜上可知：a的取值范圍是{a|1≤a≤3}．

點評：本題考查了集合的運算，正確解不等式化簡集合和分類討論是解決問題的關鍵．