Question

已知函數f（x）=ln（e^x+a）（e是自然對數的底數，a為常數）是實數集R上的奇函數，若函數g（x）=lnx-f（x）（x²-2ex+m）在（0，+∞）上有兩個零點，則實數m的取值范圍是（　�。�

• A．（

  1

  e

  ，e²+

  1

  e

  ）
• B．（0，e²+

  1

  e

  ）
• C．（e²+

  1

  e

  ，+∞）
• D．（-∞，e²+

  1

  e

  ）

Answer 1

分析：由f（x）=ln（e^x+a）是R上的奇函數，可得f（0）=0，從而可求a的值，由g（x）=lnx-f（x）（x²-2ex+m）=0，得

lnx

f(x)

=x²-2ex+m，然后構造函數，利用導數確定函數的最值，即可得到結論．

解答：解：∵函數f（x）=ln（e^x+a）是實數集R上的奇函數，
∴f（0）=0，即f（0）=ln（1+a）=0，解得a=0，即f（x）=lne^x=x．
∴g（x）=lnx-f（x）（x²-2ex+m）=lnx-x（x²-2ex+m），
由g（x）=lnx-x（x²-2ex+m）=0，得

lnx

x

=x²-2ex+m，
設h（x）=

lnx

x

，m（x）=x²-2ex+m，
則m（x）=（x-e）²+m-e²≥m-e²，
h'（x）=

1-lnx

x2

，由h'（x）＞0，得0＜x＜e，此時函數單調遞增，
由h'（x）＜0，得x＞e，此時函數單調遞減，
∴當x=e時，函數h（x）取得最大值h（e）=

lne

e

=

1

e

，
要使g（x）=lnx-f（x）（x²-2ex+m）在（0，+∞）上有兩個零點，
則

1

e

＞m-e2，即m＜

1

e

+e2．
故選D．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，函數零點的判斷和應用，利用構造法將函數零點問題轉化為兩個函數圖象的交點問題是解決本題的關鍵，注意利用數形結合的思想去解決．