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已知雙曲線,P為C上的任意點.
(1)求證:點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數;
(2)設點A的坐標為(3,0),求|PA|的最小值.
【答案】分析:(1)先設P(x1,y1)是雙曲線上任意一點,再求出雙曲線的漸近線方程,根據點到線的距離公式分別表示出點P(x1,y1)到兩條漸近線的距離,然后兩距離再相乘整理即可得到答案.
(2)先設A的坐標為(x,y),根據兩點間的距離公式表示出PA|2并根據雙曲線方程為,用x表示出y代入整理成二次函數的形式,即可得到|PA|的最小值.
解答:解:
(1)設P(x1,y1)是雙曲線上任意一點,
該雙曲的兩條漸近線方程分別是x-2y=0和x+2y=0.
點P(x1,y1)到兩條漸近線的距離分別是
它們的乘積是
點P到雙曲線的兩條漸線的距離的乘積是一個常數.
(2)設P的坐標為(x,y),則|PA|2=(x-3)2+y2==
∵|x|≥2,∴當時,|PA|2的最小值為
即|PA|的最小值為
點評:本題主要考查雙曲線的基本性質--漸近線方程,考查點到線的距離公式和兩點間的距離公式.
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