Question

已知橢圓C的焦點是，，點P在橢圓上且滿足|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設直線l：2x+y+2=0與橢圓C的交點為A，B．
（i）求使△PAB的面積為的點P的個數；
（ii）設M為橢圓上任一點，O為坐標原點，，求λ²+μ²的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）待定系數法求橢圓的標準方程．
（Ⅱ）（i）把直線l方程代入橢圓的方程，求出線段AB的長度，由三角形的面積求出三角形的高是，寫出與AB平行且到AB的距離等于直線方程，考查此直線與橢圓交點的個數．
（ii）設M（x，y），則M（x，y）滿足橢圓的方程，由題中條件用點M的坐標表示出λ和μ，計算λ²+μ²的值．
解答：解：（Ⅰ）∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|
∴點P滿足的曲線C的方程為橢圓
∵
∴b²=a²-c²=1
∴橢圓C的標準方程為．（4分）

（Ⅱ）（i）∵直線l：2x+y+2=0與橢圓C的交點為A，B
∴A（-1，0），?B（0，-2），
若
∴
∵原點O到直線l：2x+y+2=0的距離是
∴在直線l：2x+y+2=0的右側有兩個符合條件的P點
設直線l′：2x+y+n=0與橢圓相切，則
有且只有一個交點
∴8x²+4nx+n²-4=0有且只有一個解
由△=0解得（設負）
此時，l′與l間距離為
∴在直線l：2x+y+2=0的左側不存在符合條件的P點
∴符合條件的點P有2個．（10分）

（ii）設M（x，y），則x，y滿足方程：
∵
∴（x，y）=λ（-1，0）+μ（0，-2）=（-λ，-2μ）
即：，從而有
∴．（14分）
點評：本題考查用待定系數法求橢圓的標準方程，點到直線的距離公式的應用，以及直線與圓錐曲線的交點問題．