Question

若函數f（x）=

x-4

mx2+4mx+3

的定義域為R，則實數m的取值范圍是

[0，

3

4

)

．

Answer 1

分析：從函數解析式的結構來看，要使其有意義需滿足mx²+4mx+3≠0，所以由題意將所給條件轉化為mx²+4mx+3≠0對任意x∈R恒成立，再進行分類討論求解．

解答：解：由題意知mx²+4mx+3≠0對任意x∈R恒成立，
（1）若m=0，則mx²+4mx+3=3≠0，符合題意．
（2）若m≠0，則mx²+4mx+3≠0對任意x∈R恒成立，等價于

m≠0 △=16m2-12m＜0

，
解得：0＜m＜

3

4

，
綜上所述，實數m的取值范圍是 [0，

3

4

)．
故答案為[0，

3

4

)．

點評：此題表面看是研究函數的定義域，實則是一個恒成立問題，轉化題意后因為最早次冪位置有參數，所以要進行分類討論，此處為易錯點．