Question

6．已知F₁、F₂分別是雙曲線x²-4y²=4的左、右焦點，點P在該雙曲線的右支上，且|PF₁|+|PF₂|=6，則cos∠F₁PF₂=$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 利用雙曲線標準方程，求出焦距，再利用雙曲線的定義和余弦定理能求出cos∠F₁PF₂．

解答 解：由雙曲線x²-4y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1得c²=5，
∴4c²=20
設|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，則d₁-d₂=4…①
由已知條件：d₁+d₂=6…②
由①、②得，d₁²+d₂²=26，d₁d₂=5
在△F₁PF₂中，由余弦定理得，cos∠F₁PF₂=$\frac{26-20}{2×5}$=$\frac{3}{5}$
故答案為：$\frac{3}{5}$．

點評 解決焦點三角形問題一般要用到兩種知識，一是曲線定義，本題中由雙曲線定義可得焦半徑之差，已知有焦半徑之積，故可求出焦半徑或其關系；二是余弦定理，利用解三角形知識求角或面積．