【題目】如圖，在四棱錐
中，底而
為菱形，且菱形所在的平面與
所在的平面相互垂直，
，
，
，
.
（1）求證：
平面
；
（2）求四棱錐的最長側棱的長.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）在菱形
中，
，
平面
，
平面，由此可證.
（2）取
中點
，連結
，
，由已知易得：
是正三角形，
，進一步可證
平面，由勾股定理可求出側棱
，
，
，
的長度，得到最長的是，或可先判斷CF最長，求解出長度即可.
（1）在菱形中，，平面，平面.
∴
平面.
（2）方法一：取中點，連結，，
由已知易得：是正三角形，∴.
又∴平面
平面
且交線為，∴
平面，
又
平面，∴
，
又∵
，
，
∴平面，
又，
平面，∴
，
，
在菱形中，
，
，
，
，
.
在
中，
.
在
中，
.
在
中，
，
∴
.
顯然在側棱，，，中最長的是.
∴四棱錐
的最長側棱的長為.
方法二：取中點，連結，，
由已知易得：是正三角形，∴，
又∵平面平面且交線為，∴平面，
又平面，∴，
又∵，，∴平面.
又，平面∴，.
在菱形中，
，
，∴最長.
在
中，.
∴四棱錐的最長側棱的長為.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】太極是中國古代的哲學術語，意為派生萬物的本源.太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，俗稱陰陽魚.太極圖形象化地表達了陰陽輪轉，相反相成是萬物生成變化根源的哲理.太極圖形展現了一種互相轉化，相對統一的形式美.按照太極圖的構圖方法，在平面直角坐標系中，圓
被
的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案，圖中的兩個一黑一白的小圓通常稱為“魚眼”，已知小圓的半徑均為
，現在大圓內隨機投放一點，則此點投放到“魚眼”部分的概率為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著經濟全球化、信息化的發展，企業之間的競爭從資源的爭奪轉向人才的競爭，吸引、留住培養和用好人才成為人力資源管理的戰略目標和緊迫任務，在此背景下，某信息網站在15個城市中對剛畢業的大學生的月平均收入薪資和月平均期望薪資做了調查，數據如下圖所示.
（Ⅰ）若某大學畢業生從這15座城市中隨機選擇一座城市就業，求該生選中月平均收入薪資高于8500元的城市的概率；
（Ⅱ）若從月平均收入薪資與月平均期望薪資之差高于1100元的城市中隨機選擇2座城市，求這2座城市的月平均期望薪資都低于8500元的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地自2014年至2019年每年年初統計所得的人口數量如表所示：
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
人數（單位：千人） | 2082 | 2135 | 2203 | 2276 | 2339 | 2385 |
（1）根據表中的數據判斷從2014年到2019年哪個跨年度的人口增長數量最大？并描述該地人口數量的變化趨勢；
（2）研究人員用函數
擬合該地的人口數量，其中
的單位是年，2014年年初對應時刻
，
的單位是千人，經計算可得
，請解釋的實際意義.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“綠水青山就是金山銀山”，為了響應國家政策，我市環保部門對市民進行了一次環境保護知識的網絡問卷調查，每位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參與問卷調查的50人的得分（滿分：100分）數據，統計結果如表所示：
組別 |
|
|
|
|
|
|
男 | 1 | 2 | 2 | 10 | 9 | 6 |
女 | 0 | 5 | 5 | 5 | 3 | 2 |
若規定問卷得分不低于70分的市民稱為“環境保護關注者”，則上圖中表格可得
列聯表如下：
非“環境保護關注者” | 是“環境保護關注者” | 合計 | |
男 | 5 | 25 | 30 |
女 | 10 | 10 | 20 |
合計 | 15 | 35 | 50 |
（1）請完成上述列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“環境保護關注者”與性別有關？
（2）若問卷得分不低于80分的人稱為“環境保護達人”，現在從本次調查的“環境保護達人”中利用分層抽樣的方法抽取4名市民參與環保知識問答，再從這4名市民中隨機抽取2人參與座談會，求抽取的2名市民中，既有男“環境保護達人”又有女“環境保護達人”的概率.
附表及公式：
，其中
.
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】推進垃圾分類處理，是落實綠色發展理念的必然選擇，也是打贏污染防治攻堅戰的重要環節.為了解居民對垃圾分類的了解程度，某社區居委會隨機抽取1000名社區居民參與問卷測試，并將問卷得分繪制頻率分布表如下：
得分 |
|
|
|
|
|
|
|
男性人數 | 40 | 90 | 120 | 130 | 110 | 60 | 30 |
女性人數 | 20 | 50 | 80 | 110 | 100 | 40 | 20 |
（1）從該社區隨機抽取一名居民參與問卷測試，試估計其得分不低于60分的概率；
（2）將居民對垃圾分類的了解程度分為“比較了解“(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)兩類，完成
列聯表，并判斷是否有95%的把握認為“居民對垃圾分類的了解程度”與“性別”有關？
不太了解 | 比較了解 | |
男性 | ||
女性 |
（3）從參與問卷測試且得分不低于80分的居民中，按照性別進行分層抽樣，共抽取10人，連同
名男性調查員一起組成3個環保宜傳隊.若從這
中隨機抽取3人作為隊長，且男性隊長人數占的期望不小于2.求
的最小值.
附：
臨界值表：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩名同學參加一項射擊比賽游戲，其中任何一人每射擊一次擊中目標得2分，未擊中目標得0分．若甲、乙兩人射擊的命中率分別為
和
，且甲、乙兩人各射擊一次得分之和為2的概率為
．假設甲、乙兩人射擊互不影響，則
值為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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