Question

設有四個命題：①底面是矩形的平行六面體是長方體 ②棱長都相等的直四棱柱是正方體 ③側棱垂直于底面兩條邊的平行六面體是直平行六面體 ④對角線相等的平行六面體是直平行六面體，其中真命題的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：舉出反例可否定一個命題：①側棱不一定垂直于底面，由此可判斷出①的真假；②底面是菱形是不是正方體；③若側棱垂直于底面兩條平行邊卻不一定；④若平行六面體對角線相等，則對角面皆是矩形，由此可判斷出真假．

解答：解：①若側棱不垂直于底面，則底面是矩形的平行六面體不是長方體，故①不正確．
②若底面是菱形，則棱長都相等的直四棱柱不是正方體，故②不正確．
③若側棱垂直于底面兩條平行邊，則側棱不一定垂直于底面，故側棱垂直于底面兩條邊的平行六面體不一定是直平行六面體．因此③不正確．
④若平行六面體對角線相等，則對角面皆是矩形，于是可得側棱垂直于底面，因此對角線相等的平行六面體是直平行六面體，故④正確．
綜上可知只有④是真命題．
故選A．

點評：本題綜合考查了平行六面體與直平行六面體之間的關系，會判斷線面垂直是解決問題的關鍵．