Question

已知曲線C的極坐標方程為：ρ2-2

2

ρcos(θ+

π

4

)-2=0
（I）若直線l過原點，且被曲線C截得弦長最短，求此時直線l的標準形式的參數方程；
（II）M（x，y）是曲線C上的動點，求x+y的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化曲線C的極坐標方程為直角坐標方程，求得圓心C（1，-1），要使直線l過原點，且被曲線C截得弦長最短，則OC⊥l，故可求；
（Ⅱ）設M（1+2cosθ，-1+2sinθ），θ為參數，則x+y=2cosθ+2sinθ=2

2

sin(θ+

π

4

)，故可求x+y的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標方程為：ρ2-2

2

ρcos(θ+

π

4

)-2=0
∴ρ²-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0
∴x²+y²-2x+2y-2=0
∴（x-1）²+（y+1）²=4
∴圓心C（1，-1），
∴k_OC=-1，
∵直線l過原點，且被曲線C截得弦長最短，
∴直線l斜率為1，
∴參數方程為

x= 2 2 t y= 2 2 t

，t為參數
（Ⅱ）設M（1+2cosθ，-1+2sinθ），θ為參數，
則x+y=2cosθ+2sinθ=2

2

sin(θ+

π

4

)
∵-1≤sin(θ+

π

4

)≤1
∴-2

2

≤2 

2

sin(θ+

π

4

)≤2

2

∴x+y的最大值為2

2

．

點評：本題以曲線的極坐標方程為載體，考查圓的方程，考查圓的參數方程，正確轉化是解題的關鍵．