Question

已知圓C：x²+（y-3）²=4，點(diǎn)A（0，-3），M是圓上任意一點(diǎn)，線段AM的中垂線l和直線CM相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡方程為

y2-

x2

8

=1

．

Answer 1

分析：由題意，Q到A、C的距離之差的絕對(duì)值為定值，得到Q點(diǎn)的軌跡為雙曲線，然后直接由雙曲線定義得方程．

解答：解：如圖，連結(jié)QA，由于Q在AM的中垂線上，有|QA|=|QM|，
則||QA|-|QC||=||QM|-|QC||=|CM|．
CM是⊙C的半徑，|CM|=2．
所以Q到A、C的距離之差的絕對(duì)值為定值，則軌跡為雙曲線，雙曲線的焦點(diǎn)是A、C，中心是AC中點(diǎn)．
由于A（0，-3），C（0，3），
所以c=3，a=1．則b²=a²-c²=8．
所以雙曲線的方程是：y2-

x2

8

=1．
故答案為：y2-

x2

8

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，考查了雙曲線的定義，利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答該題的關(guān)鍵，屬于中檔題．