Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中點．
（1）求CA_l與底面ABCD所成角的正切值；
（2）證明A₁C∥平面BDE．

Answer 1

分析：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由于AA₁⊥底面ABCD，故∠A₁CA即為CA_l與底面ABCD所成角．解Rt△A₁CA求出tan∠A₁CA的值．
（2）設AC和BD交與點O，由EO是△A₁CA的中位線，可得EO∥AC．而EO?平面BDE，A₁C不在平面BDE 內，由直線和平面平行的判定定理可得A₁C∥平面BDE．

解答：解：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由于AA₁⊥底面ABCD，故∠A₁CA即為CA_l與底面ABCD所成角．
設正方體的棱長等于1，則 AA₁=1，AC=

2

，Rt△A₁CA中，tan∠A₁CA=

AA1

AC

=

1

2

．
（2）證明：設AC和BD交與點O，則O是AC的中點．再由E是AA₁的中點可得EO是△A₁CA的中位線，∴EO∥AC．
而EO?平面BDE，A₁C不在平面BDE 內，∴A₁C∥平面BDE．

點評：本題主要考查直線和平面所成的角的定義和求法，證明直線和平面平行的方法，找出直線和平面所成的角，是解題的關鍵．