Question

設函數f（x）=x²+2lnx，用f′（x）表示f（x）的導函數，，其中m∈R，且m＞0．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若對任意的x₁、都有f′（x₁）≤g′（x₂）成立，求m實數的取值范圍；
（3）試證明：對任意正數a和正整數n，不等式[f′（a）]ⁿ-2^n-1f′（aⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．

Answer 1

【答案】分析：（1）牽扯出函數的定義域，求出導函數，判斷出導函數在定義域上大于0恒成立，得到函數在定義域上單調遞增．
（2）先將問題轉化為“f′（x）最大值≤g′（x）的最小值”，利用導函數求出f′（x）的最大值，再利用導數
求g′（x）的最小值需度m的范圍分類討論，求出最小值，列出不等式，求出m的范圍．
（3）求出各個導數值，用分析法將要證的不等式化簡，利用數學歸納法分三步得證．
解答：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞）
f′（x）=2x+
∴f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立
故f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），無單調遞減區間．
（2）據題意，問題轉化為f′（x）最大值≤g′（x）的最小值
令∅（x）=f′（x）
∵
當時，∅′（x）＜0
∴為減函數
∴∅（x）在的最大值為
∵==
∴
令t=6x²則h（t）=由知轉化為求函數h（t）=在上最小值
（當且僅當t=m時取等號）
①若時，g′（x）的最小值為h（m）=
此時由f′（x）最大值≤g′（x）的最小值得解得
∴
②若m＞6時，函數y=h（t）在[上為減函數
即g′（x）的最小值為h（6）由題意有恒成立
∴m＞6
③若時，函數y=h（t）在為增函數，則g′（x）的最小值為
因此，必須此時無解
綜上所述，m實數的取值范圍
（III）問題即證
即證
下面用數學歸納法證明
當n=1時，左邊=0，右邊=0不等式成立
假設n=k（k≥1）時成立即
則當n=k+1時，≥（2^k-2）×2+2=2^k+1-2
即當n=k+1時原不等式成立
點評：求不等式恒成立問題的一般思路是分離參數，構造新函數，求函數的最值，有時也直接將問題轉化為求兩個函數的最值；求函數的最值常利用導數研究函數的單調性求出，但若函數中有參數，一般要注意討論．