Question

已知分別是橢圓的左、右頂點，點在橢圓上，且直線與直線的斜率之積為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖，已知是橢圓上不同于頂點的兩點，直線與交于點，直線與交于點．① 求證：；② 若弦過橢圓的右焦點，求直線的方程．

Answer 1

【命題意圖】本題考查直線與橢圓的方程等相關(guān)知識，考查運算求解能力以及分析問題、解決問題的能力，較難題．

【答案】（Ⅰ）由題，，由點在橢圓上知，則有：

，又，

以上兩式可解得，．所以橢圓．                                            ……4分

（Ⅱ）① 設(shè)，則直線：、直線：，

兩式聯(lián)立消去得：；

同理：直線：、：，聯(lián)立得：．……6分

欲證：，只需證：，只需證：，

等價于：，

而，，所以，

故有：．                                                                                                 ……9分

② (ⅰ)當(dāng)時，由可求得：；                                  …10分

(ⅱ)當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)：，

由（Ⅱ）知：，

將，代入上式得：，

解得，由①知．

綜合(ⅰ) (ⅱ)，，故直線：．                                    …