Question

設f（x）是定義在R上的可導函數，且滿足f′（x）＞f（x），對任意的正數a，下面不等式恒成立的是（　　）

• A．f（a）＜e^af（0）
• B．f（a）＞e^af（0）
• C．f(a)＜

  f(0)

  ea

• D．f(a)＞

  f(0)

  ea

Answer 1

分析：根據選項令f（x）=

f(x)

ex

，可以對其進行求導，根據已知條件f′（x）＞f（x），可以證明f（x）為增函數，可以推出f（a）＞f（0），在對選項進行判斷；

解答：解：∵f（x）是定義在R上的可導函數，
∴可以令f（x）=

f(x)

ex

，
∴f′（x）=

exf′(x)-f(x)ex

(ex)2

=

ex[f′(x)-f(x)]

(ex)2

，
∵f′（x）＞f（x），e^x＞0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）為增函數，
∵正數a＞0，
∴f（a）＞f（0），
∴

f(a)

ea

＞

f(0)

e0

=f（0），
∴f（a）＞e^af（0），
故選B．

點評：此題主要考查利用導數研究函數單調性，此題要根據已知選項令特殊函數，是一道好題；