Question

設函數f（x）=ax-

b

x

，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）曲線y=f（x）上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，利用曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0，建立方程，可求得a=1，b=3，從而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出切線方程，從而可計算切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積．

解答：解：（Ⅰ）求導函數可得：f′（x）=a+

b

x2

∵曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．
∴f（2）=

1

2

∴a+

b

4

=

7

4

，2a-

b

2

=

1

2

∴a=1，b=3
∴f（x）的解析式為f（x）=x-

3

x

；
（Ⅱ）設（x₀，x₀-

3

x0

）為曲線f（x）上任一點，則切線的斜率為1+

3

x02

，
∴切線方程為y-（x₀-

3

x0

）=（1+

3

x02

）（x-x₀），
令x=0，可得y=-

6

x0

由切線方程與直線y=x聯立，求得交點橫坐標為x=2x₀
∴曲線f（x）上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值

1

2

×|2x₀|×|-

6

x0

|=6

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．