Question

已知二次函數y=f（x）的圖象經過坐標原點，其導函數為f′（x）=6x-2，數列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數y=f（x）的圖象上．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設，T_n是數列{b_n}的前n項和，求使得對所有n∈N^*都成立的最小正整數m；

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設這二次函數f（x）=ax²+bx（a≠0），根據導函數求得f（x）的表達式，再根據點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數
y=f（x）的圖象上，求出a_n的遞推關系式，
（Ⅱ）把（1）題中a_n的遞推關系式代入b_n，根據裂項相消法求得T_n，最后解得使得對所有n∈N^*都成立的最小正整數m．
解答：解：（Ⅰ）設這二次函數f（x）=ax²+bx（a≠0），則f′（x）=2ax+b，由于f′（x）=6x-2，得
a=3，b=-2，所以f（x）=3x²-2x．
又因為點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數y=f（x）的圖象上，
所以S_n=3n²-2n．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5．
當n=1時，a₁=S₁=3×1²-2=6×1-5，
所以，a_n=6n-5（n∈N^*）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知==，
故T_n===（1-）．
因此，要使（1-）＜（n∈N^*）成立的m，必須且僅須滿足≤，即m≥10，
所以滿足要求的最小正整數m為10．
點評：本題主要考查二次函數、等差數列、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力．