Question

（2012•藍山縣模擬）給定集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}（n∈N?，n≥3），定義a_i+a_j（1≤i＜j≤n，i，j∈N）中所有不同值的個數為集合A兩元素和的容量，用L（A）表示，若A={2，4，6，8}，則L（A）=

5

；若數列{a_n}是等差數列，設集合A={a₁，a₂，a ₃，…，a _m}（其中m∈N^*，m為常數），則L（A）關于m的表達式為

2m-3

．

Answer 1

分析：嚴格利用題目給出的新定義采用列舉法來進行求解即可．

解答：解：∵A={2，4，6，8}，
∴ai+aj（1≤i＜j≤4，i，j∈N）分別為：2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，
其中2+8=10，4+6=10，
∴定義ai+aj（1≤i＜j≤4，i，j∈N）中所有不同值的個數為5，
即當A={2，4，6，8}時，L（A）=5．
當數列{an}是等差數列，且集合A={a₁，a₂，a ₃，…，a _m}（其中m∈N*，m為常數）時，
ai+aj（1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成如下各列所示圖表：
a₁+a₂，a₂+a₃，a₃+a₄，…，a_m-2+a_m-1 ，a_m-1+a_m，
a₁+a₃，a₂+a₄，a₃+a₅，…，a_m-2+a_m ，
…，…，…，…，
a₁+a_m-2 ，a₂+a_m-1，a₃+a_m，
a₁+a_m-1，a₂+a_m，
a₁+a_m，
∵數列{an}是等差數列，
∴a₁+a₄=a₂+a₃，
a₁+a₅=a₂+a₄，
…，
a₁+a_m=a₂+a_m-1，
∴第二列中只有a₂+a_m的值和第一列不重復，即第二列剩余一個不重復的值，
同理，以后每列剩余一個與前面不重復的值，
∵第一列共有m-1個不同的值，后面共有m-1列，
∴所有不同的值有：m-1+m-2=2m-3，
即當集合A={a₁，a₂，a ₃，…，a _m}（其中m∈N*，m為常數）時，L（A）=2m-3．

點評：本題的屬于新定義的創新題，題目篇幅長，難于理解是解決這一問題的障礙．