Question

．（本小題滿分12分）
在平面直角坐標系中，點為動點，已知點，，直線與的斜率之積為.
（I）求動點軌跡的方程;
（II）過點的直線交曲線于兩點，設點關于軸的對稱點為(不重合)，求證：直線過定點.

Answer 1

（1）；（2）直線過定點.

本試題主要是考查了橢圓方程的求解和直線與橢圓位置關系的運用。利用橢圓的幾何性質，來表示得到a,b,c的值，從而解得方程，然后設出直線方程，聯立方程組，借助于韋達定理，運用代數的方法來表示坐標，同時借助于題目中向量的關系式，得到坐標的關系，消去坐標，得參數的關系式，進而求解得到。
解一：（1）由題知：…………2分
化簡得：……………………………4分
（2）設，:，
代入整理得…………6分
，，………………………………8分
的方程為
令，
得………10分
直線過定點.………………12分
解二：設，:，
代入整理得…………6分
,，…………8分
的方程為
令，
得……10分
直線過定點.…………12分
解三：由對稱性可知，若過定點，則定點一定在軸上，
設，:，
代入整理得…………6分
,，…………8分
設過定點，則，而
則

…………10分
直線過定點.…………12分