Question

已知函數f（x）對任意實數x均有f（x）=kf（x+2），其中常數k＜0，且f（x）在區間[0，2]的表達式為f（x）=x（x-2）．
（1）求f（-1），f（2.5）的值（用k表示）；
（2）寫出f（x）在區間[-3，2]上的表達式，并討論f（x）在[-3，2]上的單調性（不要求證明）；
（3）求出f（x）在區間[-3，2]上的最小值與最大值，并求出相應的自變量的取值．

Answer 1

分析：（1）根據區間[0，2]的表達式為f（x）=x（x-2），可得f（1）=-1，f（0.5），利用f（x）=kf（x+2），即可求得f（-1），f（2.5）的值；
（2）分段考慮，分以下情形：①當-3≤x≤-2時，f（x）=k²（x+4）（x+2）；②當-2＜x＜0時，f（x）=kx（x+2），從而可得結論；
（3）分類討論：f（x）在區間[-3，2]上的最大值為3k²，此時x=-1；再分類討論，確定函數f（x）在區間[-3，2]上的最小值，即可求得結論．

解答：解：（1）由條件得，∵區間[0，2]的表達式為f（x）=x（x-2），∴f（1）=-1，f（0.5）=-

3

4

∵f（x）=kf（x+2），∴f（-1）=kf（1）=-k，f(2.5)=

1

k

f(0.5)=-

3

4k

（2）分段考慮，分以下情形：
情形一：當-3≤x≤-2時，有1≤x+4≤2，∴f（x+4）=（x+4）（x+2）
由f（x）=kf（x+2），得f（x）=k²f（x+4），∴此時f（x）=k²（x+4）（x+2）
情形二：當-2＜x＜0時，有0＜x+2＜2，∴f（x+2）=（x+2）x，∴此時f（x）=kx（x+2）
綜上，f(x)=

k2(x+4)(x+2)  -3≤x≤-2 k x(x+2)-2＜x＜0 x (x-2)    0≤x≤2

∵k＜0，∴f（x）在[-3，-1]和[1，2]上是增函數，在[-1，1]上是減函數．
（3）由（2）中函數f（x）在[-3，2]上的單調性可知，f（x）在區間[-3，2]上的最大值為3k²，此時x=-1
當k＜-1時，f（x）在區間[-3，2]上的最小值為-k²，此時x=-3
當-1＜k＜0時，f（x）在區間[-3，2]上的最小值為-1，此時x=1
當k=-1時，f（x）在區間[-3，2]上的最小值為-1，此時x=-3或x=1

點評：本題考查二次函數在閉區間上的最值問題，體現了換元的思想、分類討論的數學思想，屬于基礎題．