Question

16．已知關于x的不等式kx²-2x+6k＜0；
（1）若不等式的解集為（2，3），求實數k的值；
（2）若k＞0，且不等式對一切2＜x＜3都成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知得2和3是相應方程kx²-2x+6k=0的兩根且k＞0，利用根與系數的關系即可得出；
（2）設f（x）=kx²-2x+6k，利用二次函數的圖象與性質把問題化為$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≤0}\\{f（3）≤0}\end{array}\right.$，即可求出k的取值范圍．

解答 解：（1）不等式kx²-2x+6k＜0的解集為（2，3），
所以2和3是方程kx²-2x+6k=0的兩根且k＞0，
由根與系數的關系得，2+3=$\frac{2}{k}$，
解得k=$\frac{2}{5}$；
（2）令f（x）=kx²-2x+6k，
則原問題等價于$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≤0}\\{f（3）≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{4k-4+6k≤0}\\{9k-6+6k≤0}\end{array}\right.$，
解得k≤$\frac{2}{5}$，
又k＞0，
所以實數k的取值范圍是0＜k≤$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查了一元二次不等式與與相應的一元二次方程以及二次函數的應用問題，是綜合性題目．