Question

已知a＞3且a≠

7

2

，命題p：指數函數f（x）=（2a-6）^x在R上單調遞減，命題q：關于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的兩個實根均大于3．若p或q為真，p且q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：分別求出命題p，q成立的等價條件，利用p或q為真，p且q為假，求實數a的取值范圍．

解答：解：若指數函數f（x）=（2a-6）^x在R上單調遞減，則0＜2a-6＜1，解得3＜a＜

7

2

，即p：3＜a＜

7

2

．
若關于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的兩個實根均大于3．
設函數f（x）=x²-3ax+2a²+1，
則滿足

△=(-3a)2-4(2a2+1)≥0 f(3)=9-9a+2a2+1＞0 - -3a 2 ＞3

，
即

a＞2或a≤-2 a＜2或a＞ 5 2 a＞2

，解得a＞

5

2

，
又a＞3且a≠

7

2

，∴a＞3且a≠

7

2

．即q：a＞3且a≠

7

2

．
當若p或q為真，p且q為假，
∴p，q一真一假．
若p真q假，則此時a無解．
若p假q真，則

a＞ 7 2 a＞3且a≠ 7 2 a＞2

，即a＞

7

2

．
綜上：a＞

7

2

．

點評：本題主要考查復合命題與簡單命題之間的關系，先求出命題p，q成立的等價條件，是解決此類問題的關鍵．