Question

已知函數f(x)=ln

1+2x

+mx．
（1）當m=-1時，求函數f（x）的最大值；
（2）當m=1時，設點A、B是函數y=f（x）（x∈[0，1]）的圖象上任意不同的兩點，求證：直線AB的斜率k_AB＜2．

Answer 1

分析：（1）對函數求導，根據定義域，結合函數的導函數確定函數的單調性，從而可確定函數的最值；
（I2）當m=1時，利用斜率的定義，構造新函數得到函數在[0，1]上遞減，即可得到結論．

解答：（1）解：m=-1時，f(x)=ln

1+2x

-x
求導函數，可得：f′（x）=

1

1+2x

-1=-

2x

1+2x

(x＞-

1

2

 )．
令f′（x）＞0，可得-

1

2

＜x＜0，令f′（x）＜0，可得x＞0，
∴x=0時，函數取得最大值0；
（2）證明：當m=1時，f(x)=ln

1+2x

+x
設點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂
∴k_AB＜2，等價于

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜2，∴f（x₂）-2x₂＜f（x₁）-2x₁
令h（x）=f（x）-2x=f(x)=ln

1+2x

-x，由（1）知它在[0，1]上遞減，
∵x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂
∴h（x₁）＞h（x₂）
即f（x₂）-2x₂＜f（x₁）-2x₁
綜上所述，當m=1時，直線AB的斜率k_AB＜2

點評：本題考查函數的單調性與導數的關系，考查根據需要構造新函數，考查解決問題的能力和分析問題的能力，是一個中檔題．