Question

如圖，現有一塊半徑為2m，圓心角為90°的扇形鐵皮AOB，欲從其中裁剪出一塊內接五邊形
ONPQR，使點P在AB弧上，點M，N分別在半徑OA和OB上，四邊形PMON是矩形，點Q在弧AP上，R點在線段AM上，四邊形PQRM是直角梯形．現有如下裁剪方案：先使矩形PMON的面積達到最大，在此前提下，再使直角梯形PQRM的面積也達到最大．
（Ⅰ）設∠BOP=θ，當矩形PMON的面積最大時，求θ的值；
（Ⅱ）求按這種裁剪方法的原材料利用率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設∠BOP=θ，θ∈(0，

π

2

)，則PM=2cosθ，PN=2sinθ，從而S_PMON=PM•PN=2sin2θ，由此可求當矩形PMON的面積最大時，θ的值；
（Ⅱ）過Q點作QS⊥OB，垂足為S，連接OQ，設∠BOQ=α，α∈(

π

4

，

π

2

)，從而可得S梯形PQRM=

1

2

(2cosα+

2

)（2sinα-

2

)=2sinαcosα+

2

（sinα-cosα）-1，利用換元法t=sinα-cosα=

2

sin(α-

π

4

)，可得S梯形PQRM=-t2 +

2

t=-(t-

2

2

)2+

1

2

，從而可求直角梯形PQRM的面積的最大值，由此可求原材料利用率．

解答：解：（Ⅰ）先求矩形PMON面積的最大值：
設∠BOP=θ，θ∈(0，

π

2

)，則PM=2cosθ，PN=2sinθ，
∴S_PMON=PM•PN=2sin2θ，
∴當2θ=

π

2

，即θ=

π

4

時，S_max=2
此時，PM=MO=

2

，θ=

π

4

  …6分
（Ⅱ）過Q點作QS⊥OB，垂足為S，連接OQ，設∠BOQ=α，α∈(

π

4

，

π

2

)
在Rt△QOS中，有QS=2sinα，OS=2cosα，
則RQ=2cosα，RM=2sinα-

2

，
∴S梯形PQRM=

1

2

(2cosα+

2

)（2sinα-

2

)=2sinαcosα+

2

（sinα-cosα）-1                 …8分
令t=sinα-cosα=

2

sin(α-

π

4

)，
∵α∈(

π

4

，

π

2

)，∴t∈（0，1），
此時，2sinαcosα=1-t²，則S梯形PQRM=-t2 +

2

t=-(t-

2

2

)2+

1

2

，
當t=

2

2

時，直角梯形PQRM的面積的最大值為

1

2

                …10分
∴方案裁剪出內接五邊形ONPQR的面積最大值為

5

2

m²，即利用率=

2+ 1 2

π

=

5

2π

…12分．

點評：本題考查利用三角知識解決實際問題，解題的關鍵是引入輔助角，構建三角函數模型，利用三角函數知識進行解決，綜合性強．