Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三角形ABC為正三角形，側棱AA₁⊥底面ABC，AB=2，AA₁=4，E為AA₁的中點，F為BC的中點
（1）求證：直線AF∥平面BEC₁
（2）求A到平面BEC₁的距離．

Answer 1

分析：（1）取BC₁的中點H，連接HE、HF，利用三角形中位線定理和棱柱的性質證出四邊形AFHE為平行四邊形，從而得到AF∥HE，結合線面平行判定定理即可證出直線AF∥平面BEC₁；
（2）由V_A-BEC1=V_C1-BEC利用等體積法建立關系式，根據正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性質，結合題中數據算出△BEC₁和△ABE的面積，以及C₁到平面AA₁B₁B的距離，代入前面的等式即可解出A到平面BEC₁的距離．

解答：解：（1）取BC₁的中點H，連接HE、HF，
則△BCC₁中，HF∥CC₁且HF=

1

2

CC₁
又∵平行四邊形AA₁C₁C中，AE∥CC₁且AE=

1

2

CC₁
∴AE∥HF且AE=HF，可得四邊形AFHE為平行四邊形，
∴AF∥HE，
∵AF?平面REC₁，HE?平面REC₁
∴AF∥平面REC₁．…（6分）
（2）等邊△ABC中，高AF=

3

2

AB=

3

，所以EH=AF=

3

由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，得C₁到平面AA₁B₁B的距離等于

3

∵Rt△A₁C₁E≌Rt△ABE，∴EC₁=EB，得EH⊥BC₁
可得S_△ BEC1=

1

2

BC₁•EH=

1

2

×

42+22

×

3

=

15

，
而S_△ABE=

1

2

AB×BE=2
由等體積法得V_A-BEC1=V_C1-BEC，
∴

1

3

S_△ BEC1×d=

1

3

S_△ABE×

3

，（d為點A到平面BEC₁的距離）
即

1

3

×

15

×d=

1

3

×2×

3

，解之得d=

2 5

5

∴點A到平面BEC₁的距離等于

2 5

5

．…（12分）

點評：本題在正三棱柱中求證線面平行，并求點到平面的距離．著重考查了正三棱柱的性質、線面平行判定定理和等體積法求點到平面的距離等知識，屬于中檔題．