Question

已知函數f（x）=x²-ax+（a-1）lnx，a＞1．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）證明：若a＜5，則對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，有．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據對數函數定義可知定義域為大于0的數，求出f′（x）討論當a-1=1時導函數大于0，函數單調遞增；當a-1＜1時分類討論函數的增減性；當a-1＞1時討論函數的增減性．
（2）構造函數g（x）=f（x）+x，求出導函數，根據a的取值范圍得到導函數一定大于0，則g（x）為單調遞增函數，則利用當x₁＞x₂＞0時有g（x₁）-g（x₂）＞0即可得證．
解答：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞）．

（i）若a-1=1即a=2，則
故f（x）在（0，+∞）單調增．
（ii）若a-1＜1，而a＞1，
故1＜a＜2，則當x∈（a-1，1）時，f′（x）＜0；
當x∈（0，a-1）及x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0
故f（x）在（a-1，1）單調減，
在（0，a-1），（1，+∞）單調增．
（iii）若a-1＞1，即a＞2，
同理可得f（x）在（1，a-1）單調減，
在（0，1），（a-1，+∞）單調增．
（2）考慮函數g（x）=f（x）+x=
則
由于1＜a＜5，故g'（x）＞0，
即g（x）在（0，+∞）單調增加，
從而當x₁＞x₂＞0時有g（x₁）-g（x₂）＞0，
即f（x₁）-f（x₂）+x₁-x₂＞0，故，
當0＜x₁＜x₂時，有
點評：考查學生利用導數研究函數單調性的能力，以及基本不等式證明的能力．