Question

（1）證明：當a＞1時，不等式a³＞a²成立．
（2）要使上述不等式a³＞a²成立，能否將條件“a＞1”適當放寬？若能，請放寬條件并簡述理由；若不能，也請說明理由．
（3）請你根據（1）、（2）的證明，試寫出一個類似的更為一般的結論，且給予證明．

Answer 1

解：（1）證明：，∵a＞1，∴＞0，
∴原不等式成立．
（2）∵a-1與a⁵-1同號對任何a＞0且a≠1 恒成立，∴上述不等式的條件可放寬為a＞0且a≠1．
（3）根據（1）（2）的證明，可推知：若a＞0且a≠1，m＞n＞0，則有．
證：左式-右式=，
若a＞1，則由m＞n＞0 可得 a^m-n-1＞0，a^m+n-1＞0∴不等式成立．
若0＜a＜1，則由m＞n＞0 可得 0＜a^m-n＜1，0＜a^m+n＜1，∴不等式成立．
分析：（1）用作差比較法證明不等式，把差化為因式積的形式，判斷符號，得出結論．
（2）由于a-1與a⁵-1同號，對任何a＞0且a≠1 恒成立，故上述不等式的條件可放寬為a＞0且a≠1．
（3）左式-右式等于，根據m＞n＞0，分a＞1 和0＜a＜1 兩種情況討論．
點評：本題考查不等式性質的應用，用比較法證明不等式，體現了分類討論的數學思想．