Question

已知函數f（x）=x²-blnx在（1，2]是增函數，g(x)=x-b

x

在（0，1）為減函數．
（1）求b的值；
（2）設函數φ(x)=2ax-

1

x2

是區間(0，1]上的增函數，且在（0，1]上φ（x）≤1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知，f′（x）≥0在x∈（1，2]上恒成立且g′（x）≤0在x∈（0，1）上恒成立，利用參變量分離分別求出b的取值范圍，進而得到b的值；
（2）根據函數φ(x)=2ax-

1

x2

是區間(0，1]上的增函數可得φ'（x）≥0在（0，1]上恒成立，然后利用參變量分離法求出a的取值范圍即可．

解答：解：（1）∵f′(x)=2x-

b

x

，依題意f'（x）≥0x∈（1，2]，⇒b≤2x²恒成立，∴b≤2（3分）
又∵g′(x)=1-

b

2 x

，
依題意g′(x)≤0x∈(0，1)，⇒b≥2

x

恒成立，∴b≥2（5分）
∴b=2（6分）
（2）令φ(x)=2ax-

1

x2

，則在（0，1]上φ′(x)=2a+

2

x3

，（7分）
∵函數φ(x)=2ax-

1

x2

在x∈（0，1]上為增函數，
∴φ'（x）≥0在（0，1]上恒成立（8分）
即a＞-

1

x3

在（0，1]上恒成立，
∴a≥-1，且最大值為2a-1（10分）
依題意

a≥-1 2a-1≤1

，解得：-1≤a≤1
∴實數a的取值范圍為-1≤a≤1．（12分）

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答．