Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，且OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點．
（1）證明：直線MN∥平面OCD；
（2）求點N到平面OCD的距離．

Answer 1

分析：（1）取OB的中點E，連接ME，NE，由ME∥AB，AB∥CD，知ME∥CD，由此能夠證明MN∥平面OCD．
（2）點N到平面OCD的距離，即為A點到平面OCD距離的一半．作AP⊥CD于P，連接OP，過點A作AQ⊥OP于點Q，由AP⊥CD，OA⊥CD，知CD⊥平面OAP，AQ⊥CD，由AQ⊥OP，知AQ⊥平面OCD，線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離，由此能求出點N到平面OCD的距離．

解答：解：（1）取OB的中點E，連接ME，NE，
∵ME∥AB，AB∥CD，
∴ME∥CD，
∵NE∥OC，ME∩EN=E，OC∩CD=C，
∴平面MNE∥平面OCD，
∴MN∥平面OCD．（4分）
（2）點N到平面OCD的距離，即為A點到平面OCD距離的一半（6分）
作AP⊥CD于P，連接OP，過點A作AQ⊥OP于點Q，
∵AP⊥CD，OA⊥CD，
∴CD⊥平面OAP，AQ⊥CD，
∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，
線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離，
∵OP=

OD2-DP2

=

OA2+AD2-DP2

=

4+1- 1 2

=

3 2

2

，
AP=DP=

2

2

，
∴AQ=

OA•AP

OP

=

2× 2 2

3 2 2

=

2

3

，
所以N到平面OCD的距離為

1

3

．（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，求點到平面的距離，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間幾何問題為平面幾何問題．