Question

某遠洋捕漁船到遠海捕魚，由于遠海漁業資源豐富，每撒一次網都有w萬元的收益；同時，又由于遠海風云未測，每撒一次網存在遭遇沉船事故的可能，其概率為

1

k

（常數k為大于l的正整數）．假定，捕魚船噸位很大，可以裝下幾次撒網所捕的魚，而在每次撒網時，發生不發生沉船事故與前一次撒網無關，若發生沉船事故，則原來所獲的收益將隨船的沉沒而不存在，又已知船長計劃在此處撒網n次．
（1）當n=3時，求捕魚收益的期望值
（2）試求n的值，使這次遠洋捕魚收益的期望值達到最大．

Answer 1

分析：（1）當n=3時，分別計算出捕魚收益為0或3的概率，再列表：

收益	0	3W
P	1-(1- 1 k )3	(1- 1 k )3

最后結合期望的計算公式即可求得收益的期望值；
（2）先列表如下：

收益	0	nW
P	1-(1- 1 k )n	(1- 1 k )n

分別得出撒了n次網收益的期望值和撒了n+1次網收益的期望值，再比較它們的大小情況討論其單調性，從而求得最大值．

解答：解：（1）列表：

收益	0	3W
P	1-(1- 1 k )3	(1- 1 k )3

（3分）
所以收益的期望值=3W(1-

1

k

)3（3分）
（2）列表：

收益	0	nW
P	1-(1- 1 k )n	(1- 1 k )n

因此，撒了n次網收益的期望值等于f(n)=wn(1-

1

k

)n（4分）f(n+1)=w(n+1)(1-

1

k

)n+1=wn(1-

1

k

)n(1-

1

k

)

n+1

n

=f(n)[1+

(k-1)-n

kn

]，
∵[1+

(k-1)-n

kn

]≥1等價于（k-1）-n≥0，得n≤k-1．
∴當n＜k-1時，f（n+1）＞f（n）；當n=k-1時，f（n+1）=f（n）；
當n＞k-1時，f（n+1）＜f（n）；因此，當n=k-1時，f（n）達到最大．（4分）

點評：離散型隨機變量的期望與方差的實際應用題，我們要經過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．