Question

已知tanα，tanβ是一元二次方程2mx²+（4m-2）x+2m-3=0的兩個不等實根，求函數f（m）=5m²+3mtan（α+β）+4的值域．

Answer 1

【答案】分析：因為tanα，tanβ是一元二次方程2mx²+（4m-2）x+2m-3=0的兩個不等實根，所以利用韋達定理表示出兩根之和和兩根之積，然后利用兩角和的正切函數公式化簡tan（α+β），把表示出的tanα+tanβ和tanαtanβ代入即可得到關于m的關系式，把關于m的關系式代入f（m）中，得到f（m）關于m的二次函數，然后再根據一元二次方程有兩個不相等的實根，所以得到根的判別式大于0，列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范圍，根據自變量m的范圍即可求出f（m）的值域．
解答：解：由已知，有，，
∴．
又由△＞0，知，
∴．
∵當時f（m）在兩個區間上都為單調遞增，
故所求值域為．
點評：此題考查學生靈活運用兩角和的正切函數公式及韋達定理化簡求值，會根據自變量的范圍求出二次函數相對應的值域范圍，掌握二次函數的圖象與性質，是一道綜合題．