Question

7．已知與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1共焦點且過點Q（2，1）的雙曲線方程是 （　　）

• A． x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 由橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1可得焦點為$（±\sqrt{3}，0）$．設要求的雙曲線的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a，b＞0）．可得a²+b²=3，$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，聯立解出即可得出．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1可得焦點為$（±\sqrt{3}，0）$．
設要求的雙曲線的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a，b＞0）．
則a²+b²=3，$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
解得a²=2，b²=1．
∴要求的雙曲線的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1．
故選：C．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．