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已知橢圓
x2
a12
+
y2
b12
=1(a1b1>0)
與雙曲線
x2
a22
-
y2
b22
=1(a2>0,b2>0)
共焦點,點P是該橢圓與雙曲線在第一象限的公共點,如果以橢圓的右焦點為焦點,以y軸為準線的拋物線恰過P點,那么橢圓的離心率e1與雙曲線的離心率e2之間的關系為(  )
分析:設橢圓及雙曲線的半焦距為c,左右焦點分別為F1、F2,P點的坐標為(x,y).根據圓錐曲線的共同定義,則對于橢圓而言:PF1=a1+e1x,PF2=a1-e1x,對于雙曲線而言:PF1=e2x+a2,PF2=e2x-a2,對于拋物線而言:PF2=x,從而建立a1-e1x=e2x-a2=x,消去x化簡即得答案.
解答:解:設橢圓及雙曲線的半焦距為c,左右焦點分別為F1、F2,P點的坐標為(x,y).
則對于橢圓而言:PF1=a1+e1x,PF2=a1-e1x,
對于雙曲線而言:PF1=e2x+a2,PF2=e2x-a2
對于拋物線而言:PF2=x,
∴a1-e1x=e2x-a2=x,
∴消去x得:
e 2-1
e 1+1
=
e 1
e 2
⇒e2-e1=1.
故選A.
點評:本小題主要考查圓錐曲線的共同特征、圓錐曲線的共同定義的應用、圓錐曲線的幾何性質等基礎知識,考查運算求解能力,考查數形結合思想、化歸與轉化思想.屬于基礎題.
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