Question

已知橢圓

x2

a12

+

y2

b12

=1(a1＞b1＞0)與雙曲線

x2

a22

-

y2

b22

=1(a2＞0，b2＞0)共焦點，點P是該橢圓與雙曲線在第一象限的公共點，如果以橢圓的右焦點為焦點，以y軸為準線的拋物線恰過P點，那么橢圓的離心率e₁與雙曲線的離心率e₂之間的關系為（　　）

• A．e₂-e₁=1
• B．e₁+e₂=2
• C．

  1

  e1

  -

  1

  e2

  =1
• D．

  1

  e1

  +

  1

  e2

  =2

Answer 1

分析：設橢圓及雙曲線的半焦距為c，左右焦點分別為F₁、F₂，P點的坐標為（x，y）．根據圓錐曲線的共同定義，則對于橢圓而言：PF₁=a₁+e₁x，PF₂=a₁-e₁x，對于雙曲線而言：PF₁=e₂x+a₂，PF₂=e₂x-a₂，對于拋物線而言：PF₂=x，從而建立a₁-e₁x=e₂x-a₂=x，消去x化簡即得答案．

解答：解：設橢圓及雙曲線的半焦距為c，左右焦點分別為F₁、F₂，P點的坐標為（x，y）．
則對于橢圓而言：PF₁=a₁+e₁x，PF₂=a₁-e₁x，
對于雙曲線而言：PF₁=e₂x+a₂，PF₂=e₂x-a₂，
對于拋物線而言：PF₂=x，
∴a₁-e₁x=e₂x-a₂=x，
∴消去x得：

e 2-1

e 1+1

=

e 1

e 2

⇒e₂-e₁=1．
故選A．

點評：本小題主要考查圓錐曲線的共同特征、圓錐曲線的共同定義的應用、圓錐曲線的幾何性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．