Question

已知正項數列{a_n}的前n項和為S_n，3a_n為方程x²+2x-12S_n=0的一根（N∈n）．
（1）求數列{a_n}通項公式a_n；
（2）求證：當N≥2時，

1

a 2 n

+

1

a 2 n+1

+…+

1

a 2 2n

＜

21

22

．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，9an2+6an-12Sn=0即4Sn=3an2+2an，從而可求a₁，利用a_n=S_n-S_n-1可得a_n-a_n-1-

2

3

=0，結合等差數列的通項公式可求
（2）記C_n═

1

n2

+

1

(n+1)2

+…+

1

(2n)2

，利用單調性的定義可判斷C_n＞C_n+1即C_n＜C_n-1＜C_n-2＜…＜C₂，從而可得C_n≤C₂，代入可證

解答：解：（1）∵原方程x²+2x-12S_n=0有一根為3a_n
∴9an2+6an-12Sn=0即4Sn=3an2+2an…①…（1分）
令n=1，4a1=3a12+2a1
∴a1=

2

3

或a₁=0
∵a_n＞0
∴a1=

2

3

（2分）
當n≥2時，4Sn-1=3an-12+2an-1 …②
①-②得：4an=3an2-3an-12+2a_n-2a_n-1
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-

2

3

）=0
∵a_n＞0
∴a_n-a_n-1-

2

3

=0…（5分）
∴an=

2

3

+

2

3

(n-1)=

2n

3

  滿足a1=

2

3

∴an=

2n

3

…（6分）
（2）記C_n═

1

n2

+

1

(n+1)2

+…+

1

(2n)2

 則C_n+1-C_n=

1

(2n+1)2

+

1

(2n+2)2

-

1

n2

=[

1

(2n+1)2

-

1

2n2

]+[

1

(2n+2)2

-

1

2n2

]＜0
∴C_n＞C_n+1…（9分）
∴C_n＜C_n-1＜C_n-2＜…＜C₂
即C_n≤C₂=

1

4

+

1

9

+

1

16

=

61

144

…（11分）
∴

1

a 2 n

+

1

a 2 n+1

+…+

1

a 2 2n

=

9

4

[

1

n2

+

1

(n+1)2

+…+

1

(2n)2

]
=

9

4

C_n≤

9

4

×

61

144

=

61

64

＜

63

66

=

21

22

…（12分）

點評：本題綜合考查了數列的遞推公式在數列的通項求解中的應用，等差數列的通項公式的求解及數列的單調性等知識的應用，試題具有一定的綜合性