Question

若一動點P到兩定點的距離之和為4．
（ I）求動點P的軌跡方程；
（ II）設動點P的軌跡為曲線C，在曲線C任取一點Q，過點Q作x軸的垂線段QD，D為垂足，當Q在曲線C上運動時，求線段QD的中點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的定義，可得點P的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，根據橢圓標準方程采用待定系數法即可得到動點P的軌跡方程；
（2）設Q（x′，y′），QD中點為M（x，y），根據題意得x′=x，y′=2y，將點Q坐標代入P的軌跡方程化簡整理，即可得到線段QD的中點M的軌跡方程．
解答：解：（1）∵動點P到兩定點的距離之和為4．
∴點P的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，2a=4得a=2，c=
因此b²=a²-c²=1，可得動點P的軌跡方程為x²+=1；
（2）設Q（x′，y′），QD中點為M（x，y），
依題意x=x′，y=y′，∴x′=x，y′=2y
∵點Q在x²+=1上，
∴（x'）²+=1，即x²+y²=1
因此，線段QD的中點軌跡方程為x²+y²=1．
點評：本題給出橢圓上動點，求該點的軌跡方程，著重考查了橢圓的定義與標準方程、動點軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．