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已知函數f(x)是正比例函數,函數g(x)是反比例函數,且f(1)=1,g(1)=1
(1)求f(x),g(x)的解析式. 
(2)設h(x)=f(x)+g(x),判斷函數h(x)的奇偶性.
(3)證明函數上是增函數.
【答案】分析:(1)待定系數法:設出函數的解析式,利用f(1)=1,g(1)=1,即可求得結論;
(2)先確定函數的定義域,再驗證h(-x)與h(x)的關系,即可得到結論;
(3)寫出S(x)的解析式,利用導數即可證明;
解答:解:(1)∵函數f(x)是正比例函數,g(x)是反比例函數,
∴設f(x)=k1x,k1≠0,g(x)=,k2≠0,
∵f(1)=1,g(1)=1,
∴k1=1,k2=1,
∴f(x)=x,g(x)=
(2)h(x)=f(x)+g(x)=x+,其定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),
因為對定義域內的每一個x,都有h(-x)=-(x+)=-h(x),
∴函數h(x)是奇函數;
(3)S(x)=xf(x)+g()=x2+2.
S′(x)=2x,當x∈(0,+∞)時S′(x)>0恒成立,
所以S(x)在(0,+∞)上是增函數.
點評:本題考查函數奇偶性的、單調性的判斷證明及常見函數解析式的求解,屬基礎題,應熟練掌握該類問題的基本解決方法.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

下列說法中,正確的有
 
(把所有正確的序號都填上).
①“?x∈R,使2x>3”的否定是“?x∈R,使2x≤3”;
②函數y=sin(2x+
π
3
)sin(
π
6
-2x)的最小正周期是π;
③命題“函數f(x)在x=x0處有極值,則f′(x0)=0”的否命題是真命題;
④已知函數f′(x)是函數.f(x)在R上的導函數,若f(x)是偶函數,則f′(x)是奇函數;
1
-1
1-x2
dx
等于
π
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

8、已知函數f(x)是定義在R上的函數,其最小正周期為3,且x∈(0,3)時,f(x)=log2(3x+1),則f(2012)=(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•青浦區一模)已知函數f(x)是定義在R上的單調增函數且為奇函數,數列{an}是等差數列,a1007>0,則f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2012)+f(a2013)的值(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2011•黑龍江一模)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,其最小正周期為3,且x∈(-
3
2
,0)
時,f(x)=log
1
2
(1-x)
,則f(2010)+f(2011)=(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,其最小正周期為4,且x∈(0,2)時,f(x)=log2(3x+1),則f(2011)=
-2
-2

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