Question

已知點P為圓x²+y²=4上的動點，且P不在x軸上，PD⊥x軸，垂足為D，線段PD中點Q的軌跡為曲線C，過定點M（t，0）（0＜t＜2）任作一條與y軸不垂直的直線l，它與曲線C交于A、B兩點．
（1）求曲線C的方程；
（2）試證明：在x軸上存在定點N，使得∠ANB總能被x軸平分．

Answer 1

分析：（1）設Q（x，y）為曲線C上的任意一點，根據點P（x，2y）在圓x²+y²=4上，得出x，y之間的關系即為曲線C的方程；
（2）設點N的坐標為（n，0），直線l的方程為x=sy+t，將直線l的方程代入曲線C的方程消去x得到關于y的一元二次方程，再結合根系數的關系利用“要使∠ANB被x軸平分，只要k_AN+k_BN=0”即可證得在x軸上存在定點N，使得∠ANB總能被x軸平分，從而解決問題．

解答：解：（1）設Q（x，y）為曲線C上的任意一點，則點P（x，2y）在圓x²+y²=4上，
∴x²+4y²=4，曲線C的方程為

x2

4

+y2=1(y≠0)．（2分）
（2）設點N的坐標為（n，0），直線l的方程為x=sy+t，（3分）
代入曲線C的方程

x2

4

+y2=1，可得（s²+4）y²+2tsy+t²-4=0，（5分）
∵0＜t＜2，∴△=（2ts）²-4（s²+4）（t²-4）=16（s²+4-t²）＞0，
∴直線l與曲線C總有兩個公共點．（也可根據點M在橢圓C的內部得到此結論）（6分）
設點A，B的坐標分別（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則y1+y2=

-2ts

s2+4

，y1y2=

t2-4

s2+4

，
要使∠ANB被x軸平分，只要k_AN+k_BN=0，（9分）
即

y1

x1-n

+

y2

x2-n

=0，y₁（x₂-n）+y₂（x₁-n）=0，（10分）
也就是y₁（sy₂+t-n）+y₂（sy₁+t-n）=0，2sy₁y₂+（t-n）（y₁+y₂）=0，
即2s•

t2-4

s2+4

+(t-n)•

(-2ts)

s2+4

=0，即只要（nt-4）s=0（12分）
當n=

4

t

時，（*）對任意的s都成立，從而∠ANB總能被x軸平分．（13分）
所以在x軸上存在定點N(

4

t

，0)，使得∠ANB總能被x軸平分．（14分）

點評：本小題主要考查橢圓的應用、軌跡方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．對于存在性問題，可先假設存在，求出滿足題意的值，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．