Question

設為實數，函數。

①求的單調區間與極值；

②求證：當且時，。

 

Answer 1

【答案】

（1）解：由

令，得于是當的變化情況如下：

	-	0	+

故的單調遞減區間是，單調遞增區間是，在處取得極小值，極小值為

（2）設。對于任意的＞0，所以在R內單調遞增。

得到。

【解析】

試題分析：（1）解：由

令，得于是當的變化情況如下：

	-	0	+

故的單調遞減區間是，單調遞增區間是，在處取得極小值，極小值為

（2）證：設。由(1)知＞時，＞0

于是對于任意的＞0，所以在R內單調遞增。

于是當＞時，對任意的＞

而=0，從而對于任意的，＞0.

即＞0，故

考點：本題主要考查導數計算，應用導數研究函數的單調性、極值，利用導數證明不等式。

點評：典型題，在給定區間，導數值非負，函數是增函數，導數值為非正，函數為減函數。求極值的步驟：計算導數、求駐點、討論駐點附近導數的正負、確定極值。不等式證明中，構造函數是關鍵。本題利用“本解法”，直觀明了。