Question

一個均勻的正四面體的四個面上分別寫有1、2、3、4四個數字，現隨機投擲兩次，正四面體下底面上的數字分別為x₁、x₂，設O為坐標原點，點P的坐標為（x₁-3，x₂-3），記．
（Ⅰ）分別求出ξ取得最大值和最小值時的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）擲出點數x可以是：1、2、3、4，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²．則（x-3）²的所有取值分別為：0、1、4．因此ξ的所有取值為：0、1、2、4、5、8．由此能夠求出ξ取得最大值和最小值時的概率．
（Ⅱ）由ξ的所有取值為：0、1、2、4、5、8．且；；；；．能求出ξ的分布列ξ的期望．
解答：解：（Ⅰ）擲出點數x可以是：1、2、3、4，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²．
則x-（3分）別得：-2、-1、0、1，
于是（x-3）²的所有取值分別為：0、1、4．
因此ξ的所有取值為：0、1、2、4、5、8．
當x₁=x₂=1時，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²可取得最大值8，

當x₁=x₂=3時，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²可取得最小值0，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ξ的所有取值為：0、1、2、4、5、8．
且
；；
；
；
．
所以ξ的分布列為：

ξ		1	2	4	5	8
P

即ξ的期望．
點評：本題考查離散型隨機變量的概率分布列和數學期望，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．