Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=（1+λ）-λa_n，其中λ≠-1，0；
（I）證明：數列{a_n}是等比數列．
（II）設數列{a_n}的公比q=f（λ），數列{b_n}滿足b1=

1

2

，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2）求數列{b_n}的通項公式；
（III）記λ=1，記Cn=an(

1

bn

-1)，求數列{C_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析：（I）根據題意和a_n=s_n-s_n-1（n≥2）進行變形，再由等比數列的定義判斷得出；
（II）由（I）和題中所給的式子求出b_n后，再進一步變形，判斷出{

1

bn

}是等差數列，根據等差數列的通項公式求出{b_n}的通項公式；
（III）由前兩小題的結果求出C_n，再由錯位相減法求出該數列的前n項和為T_n．

解答：解：（I）由S_n=（1+λ）-λa_n得，S_n-1=（1+λ）-λa_n-1（n≥2），
兩式相減得：a_n=-λa_n+λa_n-1，∴

an

an-1

=

λ

1+λ

（n≥2），
∵λ≠-1，0，∴數列{a_n}是等比數列．
（II）由（I）知，f(λ)=

λ

1+λ

，
∵b_n=f（b_n-1）（n∈N^*），∴bn=

bn

1+bn-1

，即

1

bn

=

1

bn-1

+1，
∴{

1

bn

}是首項為

1

b1

=2，公差為1的等差數列；
∴

1

bn

=2+(n-1)=n+1，
則bn=

1

n+1

，
（III）λ=1時，q=

λ

1+λ

=

1

2

，且a₁=1，∴an=(

1

2

)n-1，
∴Cn=an(

1

bn

-1)=(

1

2

)n-1n，
∴Tn=1+2(

1

2

)+3(

1

2

)2+…+n(

1

2

)n-1，①

1

2

Tn=(

1

2

)+2(

1

2

)2+3(

1

2

)3+…+n(

1

2

)n②
②-①得：

1

2

Tn=1+(

1

2

)+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n，
∴

1

2

Tn=1+(

1

2

)+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n=2(1-(

1

2

)n)-n(

1

2

)n，
∴Tn=4(1-(

1

2

)n)-2n(

1

2

)n．

點評：本題是數列的綜合題，涉及了等差數列、等比數列的通項公式，主要利用關系式a_n=s_n-s_n-1（n≥2）和構造法進行變形，還涉及了錯位相減法求數列的前n項和，考查了分析問題和解決問題的能力．