Question

從某學(xué)校的800名男生中隨機抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155，160），第二組[160，165），…，第八組[190，195]，右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．
（Ⅰ）求第七組的頻率；
（Ⅱ）估計該校的800名男生的身高的中位數(shù)以及身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)；
（Ⅲ）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件E={|x-y|≤5}，事件F={|x-y|＞15}，求P（E∪F）．

Answer 1

解：（Ⅰ）第六組的頻率為，
所以第七組的頻率為1-0.08-5×（0.008×2+0.016+0.04×2+0.06）=0.06；
（Ⅱ）身高在第一組[155，160）的頻率為0.008×5=0.04，
身高在第二組[160，165）的頻率為0.016×5=0.08，
身高在第三組[165，170）的頻率為0.04×5=0.2，
身高在第四組[170，175）的頻率為0.04×5=0.2，
由于0.04+0.08+0.2=0.32＜0.5，0.04+0.08+0.2+0.2=0.52＞0.5
估計這所學(xué)校的800名男生的身高的中位數(shù)為m，則170＜m＜175
由0.04+0.08+0.2+（m-170）×0.04=0.5得m=174.5
所以可估計這所學(xué)校的800名男生的身高的中位數(shù)為174.5
由直方圖得后三組頻率為0.06+0.08+0.008×5=0.18，
所以身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)為0.18×800=144人．
（Ⅲ）第六組[180，185）的人數(shù)為4人，設(shè)為a，b，c，d，第八組[190，195]的人數(shù)為2人，設(shè)為A，B，
則有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB共15種情況，
因事件E={|x-y|≤5}發(fā)生當且僅當隨機抽取的兩名男生在同一組，
所以事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況，故．
由于|x-y|_max=195-180=15，所以事件F={|x-y|＞15}是不可能事件，P（F）=0
由于事件E和事件F是互斥事件，所以．
分析：（Ⅰ）先由第六組的人數(shù)除以樣本容量得到第六組的頻率，然后用1減去出第七組外各組的頻率和即可得到第七組的頻率；
（Ⅱ）因為過中位數(shù)的直線兩側(cè)的矩形的面積相等，經(jīng)計算前三組的頻率和小于0.5，后四組的頻率和大于0.5，由此斷定中位數(shù)位于第四組，設(shè)出中位數(shù)m，由0.04+0.08+0.2+（m-170）×0.04=0.5即可求得中位數(shù)m的值；
（Ⅲ）分別求出第六組和第八組的人數(shù)，利用列舉法列出從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生的總的方法，再分別求出事件E和事件F的概率，最后利用互斥事件的概率加法公式進行計算．
點評：本題考查了頻率分布直方圖，考查了列舉法求基本事件及事件發(fā)生的概率，解答此題的關(guān)鍵是明確頻率直方圖中各矩形的頻率和等于1，中位數(shù)是頻率分布直方圖中，過該點的直線把各矩形面積均分的點的橫坐標，此題是基礎(chǔ)題．