Question

已知函數f(x)=2

3

cos2x-2sinxcosx-

3

，
（1）求函數f（x）的周期及最大值；
（2）若將f（x）的圖象向左平移

π

3

后，再將所有點的橫坐標縮小到原來的

1

2

倍，得到函數g（x）的圖象，求函數g（x）在區間[-

π

8

，

π

8

]上的值域．

Answer 1

分析：把函數解析式第一項利用二倍角的余弦函數公式化簡，第二項利用二倍角的正弦函數公式化簡，整理后提取2，再利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的余弦函數，
（1）找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

即可求出函數的最小正周期，再根據正弦函數的值域可得出函數的最大值；
（2）根據三角函數圖象的平移規律：左加右減，給x加上

π

3

，整理后，再把ω變為2ω，使其所有點的橫坐標縮小到原來的

1

2

倍，確定出g（x）的解析式，由x的范圍求出g（x）中角度的范圍，利用正弦函數的值域即可得到g（x）的值域．

解答：解：f(x)=2

3

cos2x-2sinxcosx-

3

=

3

（1+cos2x）-sin2x-

3

=

3

cos2x-sin2x
=2cos（2x+

π

6

），
（1）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
又cos（2x+

π

6

）∈[-1，1]，
∴函數f（x）的最大值為2；
（2）將函數f（x）的圖象向左平移

π

3

個單位后，
得到函數f（x）=2cos（2x+

2π

3

+

π

6

）=-2sin（2x+

π

3

），
再將所有點的橫坐標縮小到原來的

1

2

倍，得到函數g（x）的圖象，
則g（x）的解析式為：g(x)=-2sin(4x+

π

3

)，
∵x∈[-

π

8

，

π

8

]，∴4x+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（4x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，
則g(x)=-2sin(4x+

π

3

)的值域為[-2，1]．

點評：此題考查了三角函數的周期性及其求法，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的余弦函數公式，正弦函數的定義域和值域，三角函數圖象的平移與變換規律，以及特殊角的三角函數值，其中利用三角函數的恒等變換把函數解析式化為一個角的余弦函數是解本題的關鍵．