Question

已知函數f（x）=log_0.5（4-x²）
（1）判斷f（x）的奇偶性；     
（2）求f（x）的值域；      
（3）求f（x）的增區間．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=log_0.5（4-x²），先求出它的定義域，再求出f（-x），能得到f（x）是偶函數．
（2）設f（x）=log_0.5（4-x²）=log_0.5t，則t=4-x²，由-2＜x＜2，知0＜t≤4，由此能求出f（x）的值域．
（3）由函數f（x）=log_0.5（4-x²），-2＜x＜2，利用復合函數的單調性的性質能求出f（x）的增區間．

解答：解：（1）∵函數f（x）=log_0.5（4-x²），
∴4-x²＞0，解得-2＜x＜2，
∵f（-x）=log_0.5（4-x²）=f（x），
∴f（x）是偶函數．
（2）設f（x）=log_0.5（4-x²）=log_0.5t，則t=4-x²，
∵-2＜x＜2，∴0＜t≤4，
∴當x=0，即t=4時，f（x）取最小值-2，
∴f（x）的值域為[-2，+∞）．
（3）∵函數f（x）=log_0.5（4-x²），
∴4-x²＞0，解得-2＜x＜2，
∵t=4-x²是開口向下，對稱軸為x=0的拋物線，
∴f（x）的增區間為[0，2）．

點評：本題考查對數函數的奇偶性、值域和單調區間的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．