Question

閱讀材料：某同學求解sin18°的值其過程為：設α=18°，則5α=90°，從而3α=90°-2α，于是cos3α=cos（90°-2α），即cos3α=sin2α，展開得4cos³α-3cosα=2sinαcosα，∴cosα=cos18°≠0，∴4cos²α-3=2sinα，化簡，得4sin²α+2sinα-1=0，解得sinα=

-1± 5

4

，∵sinα=sin18°∈（0，1），∴sinα=

-1+ 5

4

（sinα=

-1- 5

4

＜0舍去），即sin18°=

-1+ 5

4

．試完成以下填空：設函數f（x）=ax³+1對任意x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，則實數a的值為

4

．

Answer 1

分析：先求出f′（x）=0時x的值，進而討論函數的增減性得到f（x）的最小值，對于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，可轉化為最小值大于等于0即可求出a的范圍．

解答：解：由題意，f′（x）=3ax²-3，
當a≤0時3ax²-3＜0，函數是減函數，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，與已知矛盾，
當a＞0時，令f′（x）=3ax²-3=0解得x=±

a

a

，
①當x＜-

a

a

時，f′（x）＞0，f（x）為遞增函數，
②當-

a

a

＜x＜

a

a

時，f′（x）＜0，f（x）為遞減函數，
③當x＞

a

a

時，f（x）為遞增函數．
所以f（

a

a

）≥0，且f（-1）≥0，且f（1）≥0即可
由f（

a

a

）≥0，即a•（

a

a

）3-3•

a

a

+1≥0，解得a≥4，
由f（-1）≥0，可得a≤4，
由f（1）≥0解得2≤a≤4，
綜上a=4為所求．
故答案為：4．

點評：本題以函數為載體，考查學生解決函數恒成立的能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．