Question

1．若實數x，y滿足$xy+3x=3（0＜x＜\frac{1}{2}）$，則$\frac{3}{x}+\frac{1}{y-3}$的最小值為8．

Answer 1

分析 實數x，y滿足$xy+3x=3（0＜x＜\frac{1}{2}）$，可得x=$\frac{3}{y+3}$∈$（0，\frac{1}{2}）$，解得y＞3．則$\frac{3}{x}+\frac{1}{y-3}$=y+3+$\frac{1}{y-3}$=y-3+$\frac{1}{y-3}$+6，利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵實數x，y滿足$xy+3x=3（0＜x＜\frac{1}{2}）$，
∴x=$\frac{3}{y+3}$∈$（0，\frac{1}{2}）$，解得y＞3．
則$\frac{3}{x}+\frac{1}{y-3}$=y+3+$\frac{1}{y-3}$=y-3+$\frac{1}{y-3}$+6≥$2\sqrt{（y-3）•\frac{1}{y-3}}$+6=8，當且僅當y=4（x=$\frac{3}{7}$）時取等號．
故答案為：8．

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．