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設函數f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π,求函數f(x)的單調區間與極值.
分析:對函數f(x)=sinx-cosx+x+1求導,對導函數用輔助角公式變形,利用導數等于0得極值點,通過列表的方法考查極值點的兩側導數的正負,判斷區間的單調性,求極值.
解答:解:由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π,知f'(x)=1+
2
sin(x+
π
4
).
令f'(x)=0,從而可得sin(x+
π
4
)=-
2
2
,得x=π,或x=
2

當x變化時,f'(x),f(x)變化情況如下表:
 x     (0,π)  π  (π,
2
 
2
 (
2
,2π
 f'(x) +     0 -     0 +
 f(x) 單調遞增↑  π+2 單調遞減↓  
2
 
單調遞增↑
因此,由上表知f(x)的單調遞增區間是(0,π)與(
2
,2π),
單調遞減區間是(π,
2
),極小值為f(
2
)=
2
,極大值為f(π)=π+2
點評:本題考查導數的運算,利用導數研究函數的單調性與極值的方法,考查綜合應用數學知識解決問題的能力.對于函數解答題,一般情況下都是利用導數來研究單調性或極值,利用導數為0得可能的極值點,通過列表得每個區間導數的正負判斷函數的單調性,進而得出極值點.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖是函數Q(x)的圖象的一部分,設函數f(x)=sinx,g ( x )=
1
x
,則Q(x)是(  )
A、
f(x)
g(x)
B、f(x)g(x)
C、f(x)-g(x)
D、f(x)+g(x)

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設函數f(x)=sinx,g(x)=
1
x
,如圖是函數F(x)圖象的一部分,則F(x)是(  )

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△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且
bc
b2+c2-a2
=tanA

(1)求角A;
(2)設函數f(x)=sinx+2sinAcosx將函數y=f(x)的圖象上各點的縱坐標保持不變,橫坐標縮短到原來的
1
2
,把所得圖象向右平移
π
6
個單位,得到函數y=g(x)的圖象,求函數y=g(x)的對稱中心及單調遞增區間.

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(2011•杭州一模)設函數f(x)=
sinx+cosx-|sinx-cosx|
2
(x∈R),若在區間[0,m]上方程f(x)=-
3
2
恰有4個解,則實數m的取值范圍是
[
3
17π
6
)
[
3
17π
6
)

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科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=sinx-cosx+ax+1.
(1)當a=1,x∈[0,2π]時,求函數f(x)的單調區間與極值;
(2)若函數f(x)為單調函數,求實數a的取值范圍.

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同步練習冊答案
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