Question

已知數列{a_n}是等差數列，且3a₅＝8a₁₂＞0，數列{b_n}滿足b_n＝a_na_n+1a_n+2(n∈N^*)，{b_n}的前n項和為S_n，當n多大時，S_n取得最大值？并證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

解：設數列{an}的公差為d，則由3a5＝8a12得3a5＝8(a5＋7d)， 　　∴a5＝－d＞0．∴d＜0． 　　∴a16＝a5＋11d＝－d＋11d＝－d＞0， 　　a17＝a5＋12d＝－d＋12d＝d＜0． 　　∴a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18＞…． 　　∴b1＞b2＞b3＞…b14＞0，0＞a17＞a18＞…， 　　b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0． 　　由于a15＝a5＋10d＝－d＋10d＝－d，a18＝a5＋13d＝－d＋13d＝d， 　　∴a18＞|a15|＝a15． 　　∴b16＞|b15|＝－b15． 　　∴S16＝S14＋b15＋b16＞S14． 　　綜上所述，在數列{bn}的前n項和為Sn中，前16項的和S16最大． 　　思路解析：先由3a5＝8a12＞0判斷公差d的符號，再判斷數列{an}中符號發生改變的項，從而判斷數列{bn}中符號發生改變的項．