Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AA₁=1，AB=2，P為線段AB上的動點．
（I）求證：CA₁⊥C₁P；
（II）若四面體P-AB₁C₁的體積為，求二面角C₁-PB₁-A₁的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲證CA₁⊥C₁P，可先證CA₁⊥平面AC₁B，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證CA₁與平面AC₁B內兩相交直線垂直，而AB⊥CA₁，AC₁⊥CA₁，AC₁∩AB=A，滿足定理條件；
（II）先求出P是AB的中點，然后連接A₁P，根據二面角平面角的定義可知∠C₁PA₁是二面角C₁-PB₁-A₁的平面角，在直角三角形C₁PA₁中求出此角的余弦值即可．
解答：（I）證明：連接AC₁，∵側棱AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥AB，又∵AB⊥AC．
∴AB⊥平面A₁ACC₁．又∵CA₁?平面A₁ACC₁，∴AB⊥CA₁．（2分）
∵AC=AA₁=1，∴四邊形A₁ACC₁為正方形，∴AC₁⊥CA₁．
∵AC₁∩AB=A，∴CA₁⊥平面AC₁B．（4分）
又C₁P?平面AC₁B，∴CA₁⊥C₁P． （6分）
（II）解：∵AC⊥AB，AA₁⊥AC，且C₁A₁⊥平面ABB₁A，BB₁⊥AB，
由，知=，
解得PA=1，P是AB的中點．
（8分）
連接A₁P，則PB₁⊥A₁P，∵C₁A₁⊥平面A₁B₁BA，∴PB₁⊥C₁A₁，∴PB₁⊥C₁P，
∴∠C₁PA₁是二面角的平面角，（10分）
在直角三角形C₁PA₁中，，
∴，即二面角的余弦值是
點評：本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系，以及二面角的度量，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．