Question

（本題滿分12分）

過拋物線上不同兩點A、B分別作拋物線的切線相交于P點，

（Ⅰ）求證：P點的軌跡為一條直線；

（Ⅱ）已知點F（0，1），是否存在實數使得？

若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（本小題滿分12分）

證法（一）：（Ⅰ）設

由得： 

………………………………3分

直線PA的方程是：即    ①  

同理，直線PB的方程是：                  ②

由①②得：∴點P的軌跡方程是……6分

（Ⅱ）由（1）得：

 …………………………10分

所以

故存在=1使得…………………………………………12分

證法（二）：（Ⅰ）∵直線PA、PB與拋物線相切，且

∴直線PA、PB的斜率均存在且不為0，且

設PA的直線方程是

由得：

即…………………………3分

即直線PA的方程是：

同理可得直線PB的方程是：

由得：

故點P的軌跡方程是……………………………………6分

（Ⅱ）由（1）得：

………………………………10分

故存在=1使得…………………………………………12分