Question

當兔子和狐貍處于同一棲息地時，忽略其他因素，只考慮兔子數量和狐貍數量的相互影響，為了簡便起見，不妨做如下假設：
（1）由于自然繁殖，兔子數每年增長10%，狐貍數每年減少15%；
（2）由于狐貍吃兔子，兔子數每年減少狐貍數的0.15倍，狐貍數每年增加兔子數的0.1倍；
（3）第n年時，兔子數量R_n用表示，狐貍數量用F_n表示；
（4）初始時刻（即第0年），兔子數量有R₀=100只，狐貍數量有F₀=30只．
請用所學知識解決如下問題：
（1）列出兔子與狐貍的生態模型；
（2）求出R_n、F_n關于n的關系式；
（3）討論當n越來越大時，兔子與狐貍的數量是否能達到一個穩定的平衡狀態，說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根據兔子數每年增長10%，狐貍數每年減少15%，兔子數每年減少狐貍數的0.15倍，狐貍數每年增加兔子數的0.1倍，可得

Rn=1.1Rn-1-0.15Fn-1 Fn=0.1Rn-1+0.85Fn-1

(n≥1)
（2）利用矩陣，求出矩陣的特征多項式，從而可求矩陣的特征值、特征向量，由此可求R_n、F_n關于n的關系式；
（3）當n越來越大時，0.95ⁿ越來越接近于0，R_n，F_n分別趨向于常量210，140．由此可知，時間充分長后，兔子與狐貍的數量達到一個穩定的平衡狀態．

解答：解：（1）∵兔子數每年增長10%，狐貍數每年減少15%，兔子數每年減少狐貍數的0.15倍，狐貍數每年增加兔子數的0.1倍
∴

Rn=1.1Rn-1-0.15Fn-1 Fn=0.1Rn-1+0.85Fn-1

(n≥1)…4’
（2）設

αn

=

Rn Fn

，M=

1.1 0.1

-0.15 0.85

∴

αn

=M

αn-1

=M(M

αn-2

)=…=Mn

α∞

又矩陣M的特征多項式f(λ)=

.

λ-1.1 -0.1

0.15 λ-0.85

.

=λ²-1.95λ+0.95=（λ-1）（λ-0.95）
令f（λ）=0得：λ₁=1，λ₂=0.95
特征值λ₁=1對應的一個特征向量為

α1

=

3 2

特征值λ₂=0.95對應的一個特征向量為

α2

=

1 1

…6’
且

α0

=

100 30

=70

3 2

-110

1 1

=70

α1

-110

α2

∴

αn

=Mnα0=70

λ

n 1

α1

-110

λ

n 2

α2

=70

3 2

-110•0.95n

1 1

=

210-110•0.95n 140-110•0.95n

∴

Rn=210-110•0.95n Fn=140-110•0.95n

…14’
（3）當n越來越大時，0.95ⁿ越來越接近于0，R_n，F_n分別趨向于常量210，140．即隨著時間的增加，兔子與狐貍的數量逐漸增加，當時間充分長后，兔子與狐貍的數量達到一個穩定的平衡狀態．…2’

點評：本題以實際問題為載體，考查矩陣的運用，考查特征值與特征向量，考查利用數學知識解決實際問題．