Question

若多面體的各個頂點都在同一球面上，則稱這個多面體內接于球．如圖，設長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內接于球O，且AB=BC=2，，則A、B兩點之間的球面距離為    ．

Answer 1

【答案】分析：已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD邊長為2，高AA₁=2，它的八個頂點都在同一球面上，那么，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角線長為球的直徑，中點O為球心，根據球面距離的定義，應先算出球面兩點對球心的張角，再乘以球的半徑即可．
解答：解：由題意可得：長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁為正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
所以正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD邊長為2，高AA₁=2，它的八個頂點都在同一球面上，
則正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角線長為球的直徑，中點O為球心．
所以正四棱柱對角線AC₁=4，
則球的半徑為2．
在△AOB中根據余弦定理可得∠AOB=；
則A，B兩點的球面距離為
故答案為：．
點評：解決多面體與球相關的“切”“接”問題時，關鍵是抓住球心的位置，球心是球的靈魂，再根據球面距離的定義，應先算出球面兩點對球心的張角，再乘以球的半徑．這是通性通法．